Auffinden von Polynomfunktionen(Umgekehrte Kurvendiskusion)

Um was geht es:

Bis jetzt war es meistens so dass eine Funktion gebeben war, und wir mit Hilfe von Gleichungen und der Differentialrechnung bestimmte Eigenenschaften der Funktion bestimmen wollten. Zum Beispiel, gegeben ist die Funktion $ f(x)=x^2-3x+10$ und gesucht ist die Nullstelle, oder der Wendepunkt und so weiter.

Beim Auffinden von Polynomfunktionen, ist es genau umgekehrt. Gegeben ist der Typ der Funktion, zum Beispiel "Polynomfunktion 3. Grades", und einige Eigenschafen. Gesucht wird jetzt die Funktion die alle diese Eigenschaften erfüllt und vom gegebenen Typ ist.

Das erste das einen da natürlich einfallen könnte, ist das es vielleicht mehrere solche Funktionen geben könnte, also das man diese Aufgaben nicht eindeutig lösen kann. Das ist auch richtig! Aber wir werden nur ganz bestimmte Funktionen betrachten, und auch immer genau die richtig Anzahl von Eigenschafen vorgeben, damit sich das alles eindeutig ausgeht.

Wie geht das:

Ein Beispiel sagt oft mehr als tausend Worte...

Angabe: Bestimme die Polynomfunktion 2 Grades, die durch den Punkt A(2/3) geht und bei H(7/4) einen Hochpunkt hat.

Lösung: Okay, also eine Polynomfunktion 2.Grades ist gesucht, wir kennen die auch als quadratische Funktionen, die allgemeinste Form die diese haben können lautet: $$ f(x)=ax^2+bx+c $$ Diese Funktionsvorlage hat 3 Parameter $a,b,c$ und für jede Belegung dieser 3 ergibt sich eine andere Polynomfunktion. Unsere Aufgabe ist es also herauszufinden welche Wahl von $a,b,c$ die richtige ist, so dass die gegebenen Bedingungen erfüllt sind.

Um 3 Parameter eindeutig zu bestimmen, brauchen wir 3 Gleichungen. Nicht das es damit schon immer eindeutig lösbar ist, aber mit weniger geht es sicher nicht. Und mehr sind nicht notwendig, beziehungsweise könnten sie das Beispiel auch unlösbar machen.

Aus der Angabe lesen wir das die Funktion durch die Punkte A(2/3) und H(7/4) verläuft. Das lässt sich als folgende Gleichungen schreiben.

$f(2)=3$ oder $ a\cdot 2^2+b\cdot 2+c=3$
$f(7)=4$ oder $ a\cdot 7^2+b\cdot 7+c=4$

Des weiteren wissen wir das H(7/4) ein Hochpunkt ist, das bedeutet das dort die Funktion eine waagrechte Tangente besitzt, und das wiederum bedeutet das ihre Steigung dort null ist, beziehungsweise das folgende Gleichung gilt:

$f'(7)=0 $ oder $2\cdot a \cdot 7 + b = 0$

Es bleibt nur mehr das entstandene Gleichungssystem zu lösen:

$ a\cdot 4+b\cdot 2+c=3$
$ a\cdot 49 +b\cdot 7+c=4$
$a \cdot 14 + b = 0$

Das Video zeigt euch wie ihr das mit Geogebra machen könnt. Die gesuchte Funktion lautet also: $$ f(x)=-\frac{1}{25}x^2+\frac{14}{25}x+\frac{51}{25} $$

Wie lese ich aus dem Text die Eigenschaften heraus:

Im obigen Beispiel haben wir gesehen der Schlüssel zur Lösung der Aufgabe ist das finden der notwendigen Bedingungen, hier ein paar Beispiele die euch helfen sollten:

P(4/7) ist ein Punkt auf der Funktion: => $f(4)=7$
H(5/6) ist ein Hochpunkt oder Tiefpunkt: => das ergibt zwei Bedingungen: $f(5)=6$ und $f'(5)=0 $
W(1/2) ist ein Wendepunkt: => das ergibt zwei Bedingungen: $f(1)=2$ und $f''(2)=0 $
$f(x)$ hat an der Stelle 3, die Steigung 7: => $f(3)=7$
$f(x)$ hat an der Stelle 2 eine waagrechte Tangente: => $f'(2)=0$
$f(x)$ berührt die x-Achse bei -1: => das ergibt zwei Bedingungen: => $f(-1)=0$ und $f'(-1)=0$
$f(x)$ hat bei 3 einen Steigungswinkel von 23 Grad: => $f'(3)=\tan(23)$
die Tangente von $f(x)$ an der Stelle 4 ist $2x+3y=10$: => Zuerst die Tangente auf die Form $y=k\cdot x+d$ bringen, also $$ y = -\frac{2}{3}x+\frac{10}{3} $$ Die Tangente und die Funktion hat an der Stelle 4, den selben Funktionswert als auch die selbe Steigung. Somit gelten folgende Bedingungen: $f(3)=\frac{4}{10}$ und $f'(3)=-\frac{2}{3}$

Zusammenfassung:

Das Ergebnis beim auffinden von Polynomfunktionen sind Polynomfunktionen, von der einige Eigenschaften vorgegeben sind. So geht man am besten vor:

Bestimmen der abstrakten Form der gesuchten Polynomfunktion(Welcher Grad, usw.)
Die Anzahl der Parameter bestimmt die Anzahl der nötigen Bedingungen
Die Bedingungen aus dem Text herausfinden und notieren.
Durch einsetzen in die abstrakte Form der Funktion entsteht ein Gleichungssystem.
Lösen des Gleichungssystems, mittels Geogebra oder Taschenrechner und einsetzen der gefunden Lösungen in die abstrakte Form.