Um was geht es:

Die Binomialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für diskrete Zufallsvariablen. Also eine Technik unter bestimmten Vorrausetzungen die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen.

Vorraussetzungen:

• Es gibt nur 2 mögliche Ausgänge des Zufallexperiments ( Ja/Nein, 6er/kein 6er, treffer/kein treffer...)
• Die Wahrscheinlichkeiten für die beiden Ausgänge bleiben bei Wiederholung gleich.(Wir bezeichnen die Wahrscheinlichkeit des einen Ausgangs mit p und die des anderen mit 1-p)
• Das Zufallexperiment wird wiederholt ( Die Anzahl der Wiederholungen nennen wir meist n)

Was beantwortet die Binomialverteilung:

Die Binomialverteilung berechnet die Wahrscheinlichkeit das bei n-maliger Wiederholung eines Zufallsexperiments genau k-mal das gefragte Ereignis eintritt.

Formel:

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} $$

Wobei n = Anzahl der Wiederholungen, p = Wahrscheinlichkeit für den Ausgang einer Wiederholung, k = Anzahl der gewünschten postiven Ausgänge

Akkumulierte Wahrscheinlichkeit(mindestens, höchstens, weniger als, mehr als...)

Will man die Summe von Wahrscheinlichkeiten von mehreren möglichen Ausgängen berechnen, so addiert man die Wahrscheinlichkeit dieser Ausgänge

zum Beispiel:

• höchstens 3: \(P(X\leq 3) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)\)
• mindestens 8 bei 10 Wiederholungen: \(P(X\geq 8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)\)

Erwartungswert:

Der Erwartungswert der Binomialverteilung gibt den durchschnittlichen Wert der Zufallsvariable X an, den man bei n Wiederholungen des Experiments erwarten würde. Er wird wie folgt berechnet:

$$\mu = E(X) = n \cdot p $$

Dabei ist n die Anzahl der Wiederholungen und p die Wahrscheinlichkeit für den Ausgang einer Wiederholung.

Varianz:

Die Varianz der Binomialverteilung gibt die Streuung der Zufallsvariable X an. Sie wird wie folgt berechnet:

$$\sigma^2 = Var(X) = n \cdot p \cdot (1-p) $$

Dabei ist n die Anzahl der Wiederholungen und p die Wahrscheinlichkeit für den Ausgang einer Wiederholung.