Der Satz von Pythagoras ist ein grundlegender Satz in der Geometrie, der sich auf rechtwinklige Dreiecke bezieht. Er besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Quadrate der Längen der beiden Katheten (die kürzeren Seiten, die den rechten Winkel bilden) gleich dem Quadrat der Länge der Hypotenuse (die längste Seite) ist.
Mathematisch ausgedrückt:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
wo \(a\) und \(b\) die Längen der Katheten und \(c\) die Länge der Hypotenuse sind.
Beispiel: Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen \(a = 3\) und \(b = 4\). Die Länge der Hypotenuse kann mit dem Satz von Pythagoras berechnet werden:
\[ c^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \]Daraus ergibt sich \(c = 5\).
Der Höhensatz ist ein weiterer wichtiger Satz in der Geometrie, der auf rechtwinklige Dreiecke anwendbar ist. Er besagt, dass das Quadrat der Höhe, die auf der Hypotenuse errichtet ist, gleich dem Produkt der beiden Abschnitte ist, in die die Hypotenuse durch den Höhenfußpunkt geteilt wird.
Mathematisch ausgedrückt:
\[ h^2 = p \cdot q \]
wo \(h\) die Länge der Höhe, \(p\) und \(q\) die Längen der beiden Abschnitte der Hypotenuse sind.
Beispiel: Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse \(c = 10\) und den Hypotenusenabschnitten \(p = 6\) und \(q = 4\). Die Höhe kann mit dem Höhensatz berechnet werden:
\[ h^2 = p \cdot q = 6 \cdot 4 = 24 \]Daraus ergibt sich \(h = \sqrt{24}\).
Die Kathetensätze sind zwei weitere Sätze, die sich auf rechtwinklige Dreiecke beziehen. Der erste Kathetensatz besagt, dass das Quadrat der Länge einer Kathete gleich dem Produkt der Hypotenuse und dem Hypotenusenabschnitt auf
der gleichen Seite der Höhe ist. Der zweite Kathetensatz besagt, dass das Produkt der Längen der beiden Katheten gleich dem Produkt der Hypotenuse und der Höhe ist.
Mathematisch ausgedrückt:
\[ a^2 = c \cdot p \quad \text{und} \quad b^2 = c \cdot q \] \[ a \cdot b = c \cdot h \]Beispiel: Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse \(c = 13\) und einem Hypotenusenabschnitt \(p = 5\). Die Länge der zugehörigen Kathete kann mit dem ersten Kathetensatz berechnet werden:
\[ a^2 = c \cdot p = 13 \cdot 5 = 65 \]Daraus ergibt sich \(a = \sqrt{65}\).
Beispiel 1: Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse \(c = 15\) und der Höhe \(h = 9\), die auf der Hypotenuse errichtet ist. Berechne die Längen der beiden Katheten \(a\) und \(b\).
Zuerst verwenden wir den zweiten Kathetensatz, um das Produkt der Kathetenlängen zu berechnen:
\[ a \cdot b = c \cdot h = 15 \cdot 9 = 135 \]Dann verwenden wir den Höhensatz, um das Produkt der Hypotenusenabschnitte zu berechnen:
\[ h^2 = p \cdot q = 9^2 = 81 \]Da \(p + q = c = 15\), können wir \(q\) als \(q = 15 - p\) ausdrücken. Nun ersetzen wir \(q\) im Höhensatz:
\[ 81 = p \cdot (15 - p) \]Wir lösen diese quadratische Gleichung und erhalten \(p = 6\) und \(q = 9\). Jetzt können wir den ersten Kathetensatz verwenden, um die Längen der beiden Katheten zu berechnen:
\[ a^2 = c \cdot p = 15 \cdot 6 = 90 \quad \Rightarrow \quad a = \sqrt{90} \] \[ b^2 = c \cdot q = 15 \cdot 9 = 135 \quad \Rightarrow \quad b = \sqrt{135} \]Beispiel 2: Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit Kathetenlängen \(a = 8\) und \(b = 15\). Berechne die Länge der Hypotenuse, die Höhe und die Hypotenusenabschnitte.
Zuerst verwenden wir den Satz von Pythagoras, um die Länge der Hypotenuse zu berechnen:
\[ c^2 = a^2 + b^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 \quad \Rightarrow \quad c = 17 \]Nun verwenden wir den zweiten Kathetensatz, um die Höhe zu berechnen:
\[ h =\frac{a \cdot b}{c} = \frac{8 \cdot 15}{17} = \frac{120}{17} \]Da wir jetzt die Höhe kennen, können wir den Höhensatz verwenden, um die Hypotenusenabschnitte zu berechnen. Wir setzen die Höhe in den Höhensatz ein und erhalten:
\[ \left(\frac{120}{17}\right)^2 = p \cdot q \quad \Rightarrow \quad p \cdot q = \frac{14400}{289} \]Um die einzelnen Hypotenusenabschnitte zu berechnen, verwenden wir den ersten Kathetensatz. Für die Abschnitte \(p\) und \(q\) erhalten wir:
\[ p = \frac{a^2}{c} = \frac{8^2}{17} = \frac{64}{17} \] \[ q = \frac{b^2}{c} = \frac{15^2}{17} = \frac{225}{17} \]Wir haben nun alle benötigten Größen berechnet: Die Länge der Hypotenuse beträgt \(17\), die Höhe beträgt \(\frac{120}{17}\) und die Hypotenusenabschnitte betragen \(\frac{64}{17}\) und \(\frac{225}{17}\).
Der Satz von Pythagoras, der Höhensatz und die Kathetensätze sind wichtige geometrische Werkzeuge, die uns helfen, Längen und Flächen in rechtwinkligen Dreiecken zu ermitteln. Sie bilden die Grundlage für viele weiterführende geometrische Konzepte und Anwendungen.