Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung ist gegeben durch:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]wobei \(a, b, c \in \mathbb{R}\) und \(a \neq 0\). Eine alternative Form der quadratischen Gleichung ist:
\[ x^2 + px + q = 0 \]wobei \(p, q \in \mathbb{R}\).
Die Lösungen der quadratischen Gleichung \(ax^2 + bx + c = 0\) können mit der quadratischen Formel berechnet werden:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]Die Lösungen der alternativen Form \(x^2 + px + q = 0\) sind:
\[ x_{1,2} = \frac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}}{2} \]Die Diskriminante \(D\) einer quadratischen Gleichung \(ax^2 + bx + c = 0\) ist gegeben durch:
\[ D = b^2 - 4ac \]Die Diskriminante der alternativen Form \(x^2 + px + q = 0\) ist:
\[ D = p^2 - 4q \]Die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung hängt von der Diskriminante ab:
Für die quadratische Gleichung \(ax^2 + bx + c = 0\) mit den Lösungen \(x_1\) und \(x_2\) gelten die Sätze von Vieta:
\[ x_1 + x_2 = = -\frac{b}{a} \] \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \]Für die alternative Form \(x^2 + px + q = 0\) gelten die Sätze von Vieta:
\[ x_1 + x_2 = -p \] \[ x_1 \cdot x_2 = q \]